L’intuition dit aux mathématiciens que l’ajout de 2 à un nombre devrait complètement changer sa structure multiplicative, ce qui signifie qu’il ne devrait y avoir aucune corrélation entre si un nombre est premier (une propriété multiplicative) et si le nombre à deux unités est premier (une propriété additive). Les théoriciens des nombres n’ont trouvé aucune preuve suggérant qu’une telle corrélation existe, mais sans preuve, ils ne peuvent exclure la possibilité qu’une telle corrélation puisse éventuellement émerger.
« Pour autant que nous sachions, il pourrait y avoir cette vaste conspiration qui chaque fois qu’un certain nombre n décide d’être premier, il a un accord secret avec son voisin n + 2 disant que vous n’êtes plus autorisé à être premier », a déclaré Tao.
Personne n’est venu près d’exclure une telle conspiration. C’est pourquoi, en 1965, Sarvadaman Chowla a formulé une manière légèrement plus simple de penser à la relation entre les nombres proches. Il voulait montrer que le fait qu’un nombre entier ait un nombre pair ou impair de facteurs premiers – une condition connue sous le nom de « parité » de son nombre de facteurs premiers – ne devait en aucun cas biaiser le nombre de facteurs premiers de ses voisins.
Cette affirmation est souvent comprise en termes de fonction de Liouville, qui attribue aux entiers une valeur de −1 s’ils ont un nombre impair de facteurs premiers (comme 12, qui est égal à 2 × 2 × 3) et +1 s’ils ont un nombre pair (comme 10, qui est égal à 2 × 5). La conjecture prédit qu’il ne devrait pas y avoir de corrélation entre les valeurs que prend la fonction de Liouville pour les nombres consécutifs.
De nombreuses méthodes de pointe pour étudier les nombres premiers échouent lorsqu’il s’agit de mesurer la parité, ce qui est précisément l’objet de la conjecture de Chowla. Les mathématiciens espéraient qu’en le résolvant, ils développeraient des idées qu’ils pourraient appliquer à des problèmes comme la conjecture des nombres premiers jumeaux.
Pendant des années, cependant, il n’est resté que cela : un espoir fantaisiste. Puis, en 2015, tout a changé.
Grappes de dispersion
Radziwiłł et Kaisa Matomäki de l’Université de Turku en Finlande n’ont pas cherché à résoudre la conjecture de Chowla. Au lieu de cela, ils voulaient étudier le comportement de la fonction de Liouville sur de courts intervalles. Ils savaient déjà qu’en moyenne, la fonction vaut +1 la moitié du temps et −1 la moitié du temps. Mais il était toujours possible que ses valeurs se regroupent, apparaissant dans de longues concentrations de tous les +1 ou de tous les -1.
En 2015, Matomäki et Radziwiłł ont prouvé que ces clusters ne se produisent presque jamais. Leurs travaux, publiés l’année suivante, ont établi que si vous choisissez un nombre aléatoire et regardez, disons, ses cent ou mille voisins les plus proches, environ la moitié ont un nombre pair de facteurs premiers et l’autre moitié un nombre impair.
« C’était la grosse pièce qui manquait au casse-tête », a déclaré Andrew Granville de l’Université de Montréal. « Ils ont fait cette percée incroyable qui a révolutionné tout le sujet. »
C’était une preuve solide que les nombres ne sont pas complices d’un complot à grande échelle, mais la conjecture de Chowla concerne les complots au niveau le plus fin. C’est là que Tao est intervenu. En quelques mois, il a vu un moyen de s’appuyer sur les travaux de Matomäki et Radziwiłł pour s’attaquer à une version du problème plus facile à étudier, la conjecture logarithmique de Chowla. Dans cette formulation, des nombres plus petits reçoivent des poids plus grands afin qu’ils soient tout aussi susceptibles d’être échantillonnés que des nombres entiers plus grands.
Tao avait une vision de la façon dont une preuve de la conjecture logarithmique de Chowla pourrait se dérouler. Premièrement, il supposerait que la conjecture logarithmique de Chowla est fausse – qu’il existe en fait une conspiration entre le nombre de facteurs premiers d’entiers consécutifs. Ensuite, il essaierait de démontrer qu’une telle conspiration pourrait être amplifiée : une exception à la conjecture de Chowla signifierait non seulement une conspiration parmi des nombres entiers consécutifs, mais une conspiration beaucoup plus grande sur des pans entiers de la droite numérique.
Il serait alors en mesure de profiter du résultat antérieur de Radziwiłł et Matomäki, qui avait exclu les conspirations plus importantes de ce type exactement. Un contre-exemple à la conjecture de Chowla impliquerait une contradiction logique, ce qui signifie qu’elle ne pourrait pas exister et que la conjecture devait être vraie.